10. Вращатель Фарадея

Вращатель Фарадея — оптический элемент поворачивающий плоскость линейно поляризованного света на угол β в слабом магнитном поле. Угол поворота линейно зависит от длины пути \ell, который свет преодолевает внутри вращателя, и величины приложенного стационарного магнитного поля B

    \[\beta = \mathcal{V} B \ell,\]


где \mathcal{V} — постоянная Верде, зависящая от спектрального состава излучения и температуры.

Принцип работы вращателя Фарадея основан на возникновении разности фаз между светом в состоянии с левой |L\rangle и правой |R\rangle круговой поляризациями. Для такого света показатели преломления в среде с однородным магнитным полем различаются, а потому на одной и той же длине пути \ell произойдет разный набег фазы. Состояние света с круговой поляризацией выражается через состояния с линейной поляризацией (вертикальной |V\rangle, горизонтальной |H\rangle) и обратно следующим образом

(1)   \begin{equation*}|R\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle + i |H\rangle\right), \qquad |V\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |R\rangle + |L\rangle\right), \qquad \ |D\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle + |H\rangle\right), \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}|L\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle - i |H\rangle\right), \qquad |H\rangle = \frac1{i\sqrt 2} \left( |R\rangle - |L\rangle\right), \qquad |A\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle - |H\rangle\right).\end{equation*}

Здесь также представлены состояния света с диагональной |D\rangle и антидиагональной |A\rangle линейными поляризациями. Каждая из трех пар ортогональных состояний (|V\rangle и |H\rangle; \ |R\rangle и |L\rangle; \ |D\rangle и |A\rangle) на сфере Блоха лежат на противоположных концах одной из трех осей. Запишем все эти состояния, используя матричное представление

(3)   \begin{equation*}|R\rangle \rightarrow\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}, \qquad\ \; |V\rangle \rightarrow\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad\ \; |D\rangle \rightarrow\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \end{equation*}

(4)   \begin{equation*}|L\rangle \rightarrow\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}, \qquad|H\rangle \rightarrow\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, \qquad\ \; |A\rangle \rightarrow\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}.\end{equation*}


Если на вращатель Фарадея падает свет в состоянии с вертикальной или горизонтальной поляризацией, то унитарный оператор поворота плоскости поляризации на угол β есть

(5)   \begin{equation*}U_{F,\beta} =\begin{pmatrix}\cos\beta & \sin 3\beta \\\sin\beta & \cos 3\beta\end{pmatrix}.\end{equation*}


Действительно, такой оператор, действуя на |V\rangle или |H\rangle, дает набег фазы одной круговой поляризации относительно другой

(6)   \begin{equation*}U_{F,\beta} |V\rangle = \begin{pmatrix}\cos\beta & \sin 3\beta \\\sin\beta & \cos 3\beta\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\beta \\\sin\beta\end{pmatrix} \! = \end{equation*}

(7)   \begin{equation*}\frac12 (e^{i\beta}+e^{-i\beta}) |V\rangle + \frac1{2i}(e^{i\beta}-e^{-i\beta}) |H\rangle =\frac12 e^{i\beta} |V\rangle + \frac12 e^{-i\beta} |V\rangle - \frac{i}{2}e^{i\beta} |H\rangle + \frac{i}{2}e^{-i\beta} |H\rangle = \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} \frac1{\sqrt 2} \left[ \frac1{\sqrt 2} \left(e^{-i\beta} |V\rangle +i e^{-i\beta} |H\rangle\right) + \frac1{\sqrt 2} \left(e^{i\beta} |V\rangle -i e^{i\beta} |H\rangle\right) \right] =\frac{1}{\sqrt 2} \left(e^{-i\beta} |R\rangle + e^{i\beta} |L\rangle \right).\end{equation*}


Проводя аналогичные рассуждения для состояния света с горизонтальной поляризацией |H\rangle, получим

(9)   \begin{equation*}U_{F,\beta} |H\rangle = \begin{pmatrix}\cos\beta & \sin 3\beta \\\sin\beta & \cos 3\beta\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\sin 3\beta \\\cos 3\beta\end{pmatrix} \! = \frac1{i\sqrt 2} \(e^{i 3\beta} |R\rangle - e^{-i 3\beta} |L\rangle \).\end{equation*}


То есть также видно, что действие оператора (5) создает разность фаз между компонентами поля, поляризованными по кругу.

В игре фарадаевский вращатель может поворочивать плоскость поляризации либо на +45°, либо на -45°.

(10)   \begin{equation*}U_{F,+45^\circ} |V\rangle = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = |D\rangle, \qquad\quad U_{F,+45^\circ} |H\rangle = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = |A\rangle, \end{equation*}

(11)   \begin{equation*}U_{F,-45^\circ} |V\rangle = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = |A\rangle, \qquad\quad U_{F,-45^\circ} |H\rangle = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} = -|D\rangle.\end{equation*}