6.2. Светоделитель неполяризационный — Малофотонная квантовая оптика

Неполяризационный симметричный светоделитель (50/50 Non-Polarizing Beam Splitter) — это полупрозрачное зеркало, делящее световой луч пополам: в равной мере отражая и пропуская насквозь свет как с s-поляризацией, так и с p-поляризацией.

Квантовые собенности преобразования света светоделителем наблюдаются, когда на его вход подают свет с неклассической статистикой. В частности, нас будет интересовать преобразование однофотонных импульсов.

В квантовооптических экспериментах наиболее распространенным является светоделитель, который просто называется «симметричный светоделитель» (50/50 Beam Splitter). По принципу действия он также в равной мере отражает и пропускает свет, но отвечающая ему матрица преобразования U $_{BS}$ не учитывает набег фазы на π при отражении s-поляризованной волны. Таким образом, наблюдается иное распределение фазы световых волн на выходе. Рассмотрим матрицу преобразования общего вида для симметричного светоделителя U $_{BS}$ . Исходя из предположения о ее унитарности U $^{-1}_{BS}$ = U $^\dag_{BS}$ , на фазы и амплитуды естественным образом накладываются ограничивающие их условия

$\begin{equation*}U_{BS} = \begin{pmatrix}\cos\theta \ e^{i\phi_{11}} & \sin\theta \ e^{i\phi_{12}}\\\sin\theta \ e^{i\phi_{21}} & \cos\theta \ e^{i\phi_{22}}\end{pmatrix}, \qquad \varphi_{11} + \phi_{22} = 2 \pi n, \quad \phi_{12} + \phi_{21} = \pi (2 m+1), \quad n,m \in \mathds{Z}.\end{equation*}$

Для симметричных светоделителей θ = π/4, и потому

$\begin{equation*}U_{BS} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}e^{i\phi_{11}} & e^{i\phi_{12}}\\e^{i\phi_{21}} & e^{i\phi_{22}}\end{pmatrix}.\end{equation*}$

Как уже упоминалось, в отличии от p-поляризованной волны (в игре представленной светом в состоянии с горизонтальной поляризацией $|H\rangle$ ) s-поляризованная волна (в игре — вертикальная поляризация $|V\rangle$ ) при отражении приобретает набег фазы на π, поэтому для описания изменения квантовых состояний поляризованных однофотонных импульсов удобно использовать две матрицы преобразования. Полагая φ $_{11}$ = φ $_{22}$ = 0, φ $_{12}$ = φ $_{21}$ = 3π/2, то есть n = 0, m = 1, получим матрицу преобразования для света в состоянии с вертикальной поляризацией

(1) $\begin{equation*}U_{N\!P\!B\!S,V} = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 &\!\!\! -i\\-i &\!\!\! 1\end{pmatrix}.\end{equation*}$

А в случаи света с горизонтальной поляризацией, φ $_{11}$ = φ $_{22}$ = 0, φ $_{12}$ = φ $_{21}$ = π/2, то есть n = m = 0

(2) $\begin{equation*}U_{N\!P\!B\!S,H} = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 &\!\!\! i\\i &\!\!\! 1\end{pmatrix}.\end{equation*}$

Рассмотрим ситуацию, когда на каждый из входов неполяризационной полупрозрачной пластинки посылается однофотонный импульс или же сигнал на входе отсутствует. Даже при отсутствии сигнала в квантово-механическом описании мы должны рассматривать эволюцию вакуумного состояния моды. Будем обозначать операторы уничтожения фотонов в состоянии с вертикальной поляризацией во входных модах 1 и 2 как $\hat a_{1,V}$ и $\hat a_{2,V}$ , соответсвенно (и как $\hat a_{1,H}$ и $\hat a_{2,H}$ для горизонтальной поляризации). Пусть однофотонные импульсы, приходящие либо на первый, либо на второй вход обладают либо вертикальной, либо горизонтальной линейной поляризацией. В дираковской нотации соответствующие квантовые состояния на первом входе светоделителя записываются через вектора состояния: $|10\rangle_{a1}$ и $|01\rangle_{a1}$ , где первое число заполнения обозначает вертикальную поляризацию, а второе — горизонтальную. Для импульса на втором входе используются аналогичные обозначения, но с индексом a2.

Покажем, как с помощью унитарной матрицы для вертикальной поляризации U $_{N\!P\!B\!S,V}$ преобразуются квантованные амплитуды $\hat a_{1,V}$ и $\hat a_{2,V}$ при прохождении импульсов
через симметричный неполяризационный светоделитель. Составим из данных амплитуд вектор-столбец и подействуем на него матрицей (1):

(3) $\begin{equation*}\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 &\!\!\! -i\\-i &\!\!\! 1\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}\hat a_{1,V}\\\hat a_{2,V}\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}\hat a_{1,V} - i\hat a_{2,V}\\-i\hat a_{1,V} + \hat a_{2,V}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\hat b_{1,V}\\\hat b_{2,V}\end{pmatrix}.\end{equation*}$

Результатом такого преобразования станет вектор-столбец с амплитудами полей на выходе $\hat b_{1,V}$ и $\hat b_{2,V}$ . В последнем равенстве каждой строчке левого вектора-столбца однозначно соответсвует такая же строчка правого вектора-столбца. Таким образом, из полученной системы уравнений не сложно выразить квантованные амплитуды на входе $\hat a_{1,V}$ и $\hat a_{2,V}$ через квантованные амплитуды на выходе $\hat b_{1,V}$ и $\hat b_{2,V}$ (соотношения «входа-выхода»):

(4) $\begin{equation*}\hat a_{1,V} = \frac1{\sqrt 2} \left( \hat b_{1,V} + i\hat b_{2,V} \right), \qquad \hat a_{2,V} = \frac1{\sqrt 2} \left( \hat b_{2,V} + i\hat b_{1,V} \right).\end{equation*}$

Аналогичные рассуждения и использование унитарной матрицы преобразования для горизонтальной поляризации (2) позволяют получить соотношения входа-выхода для амплитуд $\hat a_{1,H}$ и $\hat a_{2,H}$

(5) $\begin{equation*}\hat a_{1,H} = \frac1{\sqrt 2} \left( \hat b_{1,V} - i\hat b_{2,V} \right), \qquad \hat a_{2,H} = \frac1{\sqrt 2} \left( \hat b_{2,V} - i\hat b_{1,V} \right).\end{equation*}$

Теперь, используя выражения (4) и (5), можно записать состояние поля на выходе светоделителя. Рассмотрим два примера.

Пусть состояние поля на входе имеет вид $|10\rangle_{a1}|00\rangle_{a2}$ , то есть в первый канал приходит однофотонный импульс в состоянии c вертикальной поляризацией, а в второй канал остается в вакуумном состоянии. Данное начальное состояние может быть переписано как
(6) $\begin{equation*}|10\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,V} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,V} |0\rangle,\end{equation*}$

где $\hat a^\dag_{1,V}$ — оператор рождения поля с вертикальной поляризацией в канале 1. Тогда, подставляя (4) в (6), получим состояние поля на выходе:
(7) $\begin{equation*}|out\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left(\hat b^\dag_{1,V} + i \hat b^\dag_{2,V}\right)|0\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |10\rangle_{b1} |00\rangle_{b2} + e^{i \pi/2} |00\rangle_{b1} |10\rangle_{b2} \right),\end{equation*}$

то есть на выходе поле будет находится в суперпозиционном состоянии. Уточним, что здесь мода с горизонтальной поляризацией возникнуть не может. Это предполагало бы поворот плоскости поляризации входящего света на π/2, а такое преобразование светоделитель не осуществляет.
Пусть состояние поля на входе имеет вид $|10\rangle_{a1}|01\rangle_{a2}$ , то есть в первый канал приходит однофотонный импульс в состоянии с вертикальной поляризацией, а во второй — с горизонтальной:

(8) $\begin{equation*}|10\rangle_{a1}|01\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,H} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,H} |0\rangle.\end{equation*}$

Тогда, подставляя (4) и (5) в (8), получим

(9) $\begin{eqnarray*}|out\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left(\hat b^\dag_{1,V} + i \hat b^\dag_{2,V}\right) \frac1{\sqrt 2} \left(\hat b^\dag_{2,H} - i \hat b^\dag_{1,H}\right) |00\rangle_{b1}|00\rangle_{b2} =\\\frac12 \left( \hat b^\dag_{1,V} \hat b^\dag_{2,H} - i \hat b^\dag_{1,V} \hat b^\dag_{1,H} + i \hat b^\dag_{2,V} \hat b^\dag_{2,H} - \hat b^\dag_{2,V} \hat b^\dag_{1,H} \right) |00\rangle_{b1}|00\rangle_{b2} =\\\frac12 \left( |10\rangle_{b1} |01\rangle_{b2} - e^{i \pi/2} |11\rangle_{b1} |00\rangle_{b2} + e^{i \pi/2} |00\rangle_{b1} |11\rangle_{b2} - |01\rangle_{b1} |10\rangle_{b2} \right).\end{eqnarray*}$

То есть два фотона могут оказаться в одном из каналов, или же могут разделиться и пройти в два разных канала.

Отметим, что наиболее интересное преобразование однофотонных квантовых состояний на светоделителях (исключая поляризационный светоделитель) наблюдается, когда входные фотоны оказываются неразличимы по своим характеристикам. В этом случае на выходе светоделителя фотоны не могут разделиться и попасть в разные каналы, наблюдается эффект группировки фотонов, называемый эффектом Хонга-У-Манделя.

В игре на каждый из входов светоделителя может приходить не только свет со строго вертикальной или горизонтальной поляризацией, но и суперпозиционное состояние данных поляризаций. В этом случае вычисление состояния поля на выходе проводится аналогичным образом.