6.3. Светоделитель поляризационный

Поляризационный светоделитель обычно представляет собой две склеенные призмы, которые расщепляют, падающий на них свет на два выходящих пучка.

Рис. 1.
Призма Глана-Томпсона

При этом также происходит разделение света по поляризации: на s-поляризованный свет (в игре это свет в состоянии с вертикальной поляризацией |V\rangle, см. рис. 1), и на p-поляризованный свет (в игре — горизонтальная поляризация |H\rangle). Среди наиболее часто используемых поляризационных светоделителей выделяют призму Волластона, призму Рошона, призму Глана-Томпсона. Последняя наиболее популярна в квантово-оптических приложениях (именно она используется в игре), так как разводит выходящие пучки по ортогональным направлениям, и поэтому может быть использована для смешения линейно поляризованного света ортогональной поляризации из двух входных каналов (рис. 4).

Нас интересует случай, когда на входы светоделителя посылаются именно однофотонные состояния импульсов с линейной поляризацией. Будем обозначать операторы уничтожения фотонов во входных модах как \hat a_1 и \hat a_2, соответсвенно.

Рис. 2.
Призма Волластона.

Пусть однофотонные импульсы, приходящие на пластинку, обладают либо вертикальной, либо горизонтальной линейной поляризацией. В дираковской нотации соответствующие квантовые состояния на первом входе делителя записываются через вектора состояния: |10\rangle_{a1} и |01\rangle_{a1}, где первое число заполнения обозначает вертикальную поляризацию, а второе — горизонтальную. Для импульса на втором входе используются аналогичные обозначения, но с индексом a2.

Как видно из рисунка 4, в игре поляризационный светоделитель отражает компоненту света с вертикальной поляризацией и пропускает насквозь компоненту с горизонтальной поляризацией. Запишем соответсвующие унитарные матрицы преобразования для обеих компонент.

Рис. 3. Призма Рошона.

Для преобразования импульсов с вертикальной поляризацией:

(1)   \begin{equation*}U_{P\!B\!S, V} = \begin{pmatrix}0 &\!\!\! 1\\1 &\!\!\! 0\end{pmatrix}_{\!V},\end{equation*}


для преобразования импульсов с горизонтальной поляризацией:

(2)   \begin{equation*}U_{P\!B\!S, H} = \begin{pmatrix}1 &\!\!\! 0\\0 &\!\!\! 1\end{pmatrix}_{\!H} = I_H,\end{equation*}


где I_H — единичная матрица, действующая на состояние поля с горизонтальной поляризацией. То есть фотоны с горизонтальной поляризацией остаются в том же канале, в котором оказались на входе.

Рис. 4. Смешение поляризации.

Теперь запишем преобразования квантованных амплитуд \hat a_{1,V}, \hat a_{1,H}, \hat a_{2,V}, \hat a_{2,H} с помощью матриц U_{P\!B\!S, V}, U_{P\!B\!S, H} в случае однофотонных импульсов. Мы добавили амплитудам индексы поляризации (V и H). Пусть в оба канала падает свет в состоянии с вертикальной поляризацией |10\rangle_{a1} |10\rangle_{a2}. Используя операторы рождения, запишем состояние поля на входе как

(3)   \begin{equation*}|10\rangle_{a1} |10\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,V} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,V} |0\rangle.\end{equation*}


Подействуем матрицей U_{P\!B\!S, V} на вектор-столбец, составленный из квантованных амплитуд: в первой строчке — первый канал, во второй строчке — второй

(4)   \begin{equation*}U_{P\!B\!S, V}\begin{pmatrix}\hat a_{1,V}\\\hat a_{2,V}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &\!\!\! 1\\1 &\!\!\! 0\end{pmatrix}_{\!V}\!\!\begin{pmatrix}\hat a_{1,V}\\\hat a_{2,V}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat a_{2,V}\\\hat a_{1,V}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat b_{1,V}\\\hat b_{2,V}\end{pmatrix},\end{equation*}


где \hat b_{1,V} и \hat b_{2,V} — квантованные амплитуды поля в состоянии с вертикальной поляризацией на выходе из первого и второго каналов, соответственно. Следовательно,

(5)   \begin{equation*}\hat b_{1,V} = \hat a_{2,V}, \quad \hat b_{2,V} = \hat a_{1,V}.\end{equation*}


Из (5) видно, что поля на входах светоделителя поменялись местами на выходе. Подставив (5) в (3), получим общее состояние поля на выходе

(6)   \begin{equation*}|out\rangle = |10\rangle_{b1} |10\rangle_{b2}. \end{equation*}


Как и следовало ожидать, на каждом из выходов однофотонный импульс в состоянии с вертикальной поляризацией.\\
Теперь, действуя по аналогичной схеме, найдем состояние поля на выходе, если на входах по однофотонному импульсу в состоянии с горизонтальной поляризацией

(7)   \begin{equation*}|01\rangle_{a1} |01\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,H} \hat a^\dag_{2,H} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,H} \hat a^\dag_{2,H} |0\rangle.\end{equation*}


Применим U_{P\!B\!S, H}

(8)   \begin{equation*}U_{P\!B\!S, H}\begin{pmatrix}\hat a_{1,H}\\\hat a_{2,H}\end{pmatrix}=I_H\begin{pmatrix}\hat a_{1,H}\\\hat a_{2,H}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat a_{1,H}\\\hat a_{2,H}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\hat b_{1,H}\\\hat b_{2,H}\end{pmatrix},\end{equation*}


где \hat b_{1,H} и \hat b_{2,H} — квантованные амплитуды поля в состоянии с горизонтальной поляризацией на выходе из первого и второго каналов, соответственно. Тогда

(9)   \begin{equation*}\hat b_{1,H} = \hat a_{1,H}, \quad \hat b_{2,H} = \hat a_{2,H},\end{equation*}


и

(10)   \begin{equation*}|out\rangle = |01\rangle_{b1} |01\rangle_{b2}. \end{equation*}


Таким образом, применяя равенства (5) и (9) к произвольному состоянию на входе, выраженному с помощью квантованных амплитуд (\hat a_{1,V}, \hat a_{1,H}, \hat a_{2,V}, \hat a_{2,H}) можно определить состояние поля на выходе. Необходимо подчеркнуть, что такой подход действует в определенных рамках — когда на любой из входов приходит не более одного фотона.

Рассмотрим еще один пример. Пусть в первый канал приходит свет в состоянии с вертикальной поляризацией, а во второй — с горизонтальной |10\rangle_{a1} |00\rangle_{a2} = \hat a_{1,V} |0\rangle, |00\rangle_{a1} |01\rangle_{a2} = \hat a_{2,H} |0\rangle. Используем (5) и (9), и тогда, действуя амплитудами \hat b^\dag_{2,V} и \hat b^\dag_{2,H} на вакуумное состояние всех мод |0\rangle, получим |out\rangle = |00\rangle_{b1} |11\rangle_{b2}. То есть по однофотонному импульсу в состоянии с вертикальной и горизонтальной поляризациями во втором канале на выходе из светоделителя.