8.1. Четвертьволновая пластинка

Фазовые (волновые) пластинки — оптически прозрачные пластинки, вырезанные из анизотропного кристалла, и создающие разность хода между «обыкновенным» и «необыкновенным» лучами, возникающими внутри кристалла.

Четвертьволновая пластинка создает разность хода в четверть длины волны (или разность фаз π/2), а полуволновая пластинка создает разность хода в половину длины волны (или разность фаз π).
Световой луч, падающий на анизотропный одноосный кристалл, внутри кристалла расщепляется на два: обыкновенный (ordinariy ≡ o) и необыкновенный (extraordinary   e). Они различаются по следующим признакам.

1. Обыкновенный подчиняется закону Снеллиуса (n_1 \sin i = n_2 \sin{i^\prime}), а необыкновенный — нет (рис. 1).

2. Во всех направлениях, кроме одного (совпадающего с оптической осью O′O″ одноосного кристалла, рис. 2), обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются с разными скоростями. При этом скорость обыкновенного луча во всех направлениях одинакова (то есть показатель преломления остается неизменным n_o = c/v_o = const, где v_o — фазовая скорость несущей гармоники с длиной волны в вакууме λ, c — скорость света в вакууме), а скорость необыкновенного зависит от направления распространения (n_e(\theta) = c/v_e(\theta)). В направлении оси кристалла скорости обоих лучей равны друг другу. Если кристалл двуосный, то, соответсвенно, таких направлений два. Также кристаллы делятся на отрицательные и положительные. В отрицательных n_o \geq n_e (\theta), следовательно, v_o \leq v_e (\theta), а в положительных n_o \leq n_e (\theta) и v_o \geq v_e (\theta). На рис. 2 показаны сечения индикатрис показателя преломления плоскостью, проходящей через оптическую ось в одноосном отрицательном кристалле. Здесь направления векторов \mathbf{n}_\textit{o} и \mathbf{n}_\textit{e} совпадают с направлениями распространения лучей, а абсолютные значения |\mathbf{n}_\textit{o}| и |\mathbf{n}_\textit{e}| равны соответсвующим показателям преломления.

3. Оба луча являются линейно поляризованными. При этом плоскость поляризации необыкновенного луча лежит в плоскости eOO″ (плоскость рисунка 2), образуемой данным лучом и осью кристалла, а плоскость обыкновенного луча ортогональна плоскости eOO″.

Одноосный кристалл для четвертьволновой пластинки вырезают так, что его ось параллельна оптической поверхности пластинки (рис. 3). В этом случае, если на пластинку нормально падает линейно поляризованный свет, то обыкновенный и необыкновенный лучи будут распространятся в том же направлении, что и падающий луч, а амплитуда падающей волны E_{in} связана с амплитудами обыкновенной E^0_o и необыкновенной E^0_e волн как

(1)   \begin{equation*}\mathbf{E}^0_o = \mathbf{E}_{in} \sin \phi, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*}\mathbf{E}^0_e = \mathbf{E}_{in} \cos \phi.\end{equation*}

Рис. 1. Расщепление на обыкновенный и необыкновенный лучи.
Рис. 2. Сечения индикатрис показателя преломления одноосного отрицательного кристалла. Эллипс и окружность лежат в одной плоскости.
Рис. 3.
Четвертьволновая пластинка.

Так как при таком направлении распространения показатели преломления для обыкновенного и необыкновенного лучей различны, то за время прохождения через пластинку толщиной  d между ними возникнет оптическая разность хода

(3)   \begin{equation*}\Delta = (n_o - n_e) d,\end{equation*}


которой соответсвует разность фаз

(4)   \begin{equation*}\delta = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta.\end{equation*}

На выходе из четвертьволновой пластинки обыкновенная и необыкновенная волны (лучи) сдвинуты относительно друг друга по фазе на δ = π/2, что дает эллиптически поляризованный свет

(5)   \begin{equation*}\mathbf{E}_o = \mathbf{E}^0_o \sin \omega t, \end{equation*}

(6)   \begin{equation*}\mathbf{E}_e = \mathbf{E}^0_e \cos(\omega t \pm \delta) = \mp \mathbf{E}^0_e \sin \omega t.\end{equation*}

Перед δ выбирается знак «плюс» для отрицательных кристаллов, где необыкновенная волна опережает обыкновенную, и наоборот перед δ ставится знак «минус» для положительных кристаллов. Согласно (3) и (4) толщина пластинки d варьируется в зависимости от показателя преломления для несущей моды λ.

В игре четверть волновая пластинка представлена двумя элементами: один для лучей, распространяющихся слева направо (ЛП) и справа налево (ПЛ), другой для лучей, распространяющихся сверху вниз (ВН) и снизу вверх (НВ). Каждый из этих элементов может принимать четыре положения с различными значениями угла φ: 0, π/2 и ±π/4 радиан. Если плоскость поляризации линейно поляризованного света, падающего на пластинку, совпадет с плоскостью поляризации обыкновенного луча (т.е. φ = π/2), то световой луч проходит через пластинку без изменений поляризации. Одно из упрощений игры заключается в том, что при прохождении произвольного светового луча через среду толщиной \ell с показателем преломления n не учитывается  приобретаемый им набег фазы 2\pi\ell n/\lambda. Так же в игре лучи не приобретают набег фазы, пока распространяются от одного оптического элемента к другому. (Для изменения фазы на ±π/2 в игре есть два специальных элемента: «пластинка с положительным показателем преломления» и «пластинка с отрицательным показателем преломления».) То есть в рассматриваемом случае падающего линейно поляризованного света с углом относительно оптической оси кристалла φ = π/2. свет не только не поменяет поляризацию, но и не приобретет набег фазы. Для других значений угла φ поляризация выходящего луча определяется с помощью (5) и (6)

(7)   \begin{equation*}\mathbf{E}_{out} = \mathbf{E}_o + \mathbf{E}_e.\end{equation*}

Рис. 4. Распространение импульса слева направо.

Рис. 5. Распространение импульса снизу вверх.

Для обозначения элементов «ЛП (или ПЛ) и ВН (или НВ) четвертьволновые пластинки» используются значки в виде синих шестигранников с нанесенными на них полосками. Если шестигранник повернут так, что полоски на нем параллельны распространяющемуся лучу (рис. 4, 5), то это обозначает, что угол φ = π/2. При этом по умолчанию считается, что если на пластинку падает свет в состоянии с вертикальной поляризацией |V\rangle (нотация Дирака), и угол φ = π/2 (рис. 4, 5), то плоскость вертикальной поляризации и плоскость обыкновенного луча совпадают. То есть это рассмотренный выше случай, когда поляризация не меняется. Следовательно, если при том же угле поворота пластинки (φ = π/2) на нее падает луч с горизонтальной поляризацией |H\rangle, то согласно выше указанным выражениям для отрицательного кристалла выходящий луч будет отставать по фазе на π/2.

Ниже приведены соответсвующие матрицы преобразования для четвертьволновой пластинки, применяемой при распространении луча слева направо и справа налево. Будем использовать матричное представление и для векторов состояния

    \[|V\rangle \rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad|H\rangle \rightarrow \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.\]

Матрицы преобразования

(8)   \begin{eqnarray*}&&U_{\text{ЛП}}^{0^\circ} = U_{\text{ПЛ}}^{0^\circ} =\begin{pmatrix}i &\!\!\! 0\\0 &\!\!\! 1\end{pmatrix}; \qquad \U_{\text{ЛП}}^{-45^\circ} = U_{\text{ПЛ}}^{+45^\circ} =\frac12\begin{pmatrix}i+1 & i-1\\i-1 & i+1\end{pmatrix};\nn\\&&U_{\text{ЛП}}^{90^\circ} = U_{\text{ПЛ}}^{90^\circ} =\begin{pmatrix}1 &\!\!\! 0\\0 &\!\!\! i\end{pmatrix}; \qquadU_{\text{ЛП}}^{+45^\circ} = U_{\text{ПЛ}}^{-45^\circ} =\frac12\begin{pmatrix}1+i & 1-i\\1-i & 1+i\end{pmatrix}.\nn\end{eqnarray*}


Например,

(9)   \begin{eqnarray*}&&U_{\text{ЛП}}^{90^\circ} |V\rangle = |V\rangle,\nn\\&&U_{\text{ЛП}}^{0^\circ} |V\rangle = i |V\rangle = e^{i\pi/2} |V\rangle\nn\\&&U_{\text{ЛП}}^{+45^\circ}|V\rangle =\frac12\begin{pmatrix}1+i\\1-i\end{pmatrix} =\frac12 \left( |V\rangle + i|V\rangle + |H\rangle - i|H\rangle \right( = \frac1{\sqrt 2} (1+i) |L\rangle\nn\\&&U_{\text{ЛП}}^{-45^\circ}|V\rangle =\frac12\begin{pmatrix}i+1\\i-1\end{pmatrix} =\frac12 \left( |V\rangle + i|V\rangle - |H\rangle + i|H\rangle \right( = \frac1{\sqrt 2} (1+i) |R\rangle,\nn\end{eqnarray*}


где

(10)   \begin{eqnarray*}&&|R\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle + i |H\rangle \right( \mbox{ --- состояние света с правой круговой поляризацией,}\nn\\&&|L\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |V\rangle - i |H\rangle \right( \mbox{ --- состояние света с левой круговой поляризацией.}\nn\end{eqnarray*}


Аналогичным образом используется и ВН (или НВ) четвертьволновая пластинка, а ее матрицы преобразования имеют следующий вид

(11)   \begin{eqnarray*}&&U_{\text{ВН}0^\circ} = U_{\text{НВ}0^\circ} = \begin{pmatrix}1 &\!\!\! 0\\0 &\!\!\! i\end{pmatrix}; \qquadU_{\text{ВН}-45^\circ} = U_{\text{НВ}+45^\circ} =\frac12\begin{pmatrix}1+i & i-1\\i-1 & 1+i\end{pmatrix};\nn\\&&U_{\text{ВН}90^\circ} = U_{\text{НВ}90^\circ} =\begin{pmatrix}i &\!\!\! 0\\0 &\!\!\! 1\end{pmatrix}; \qquad \ \ \,U_{\text{ВН}+45^\circ} = U_{\text{НВ}-45^\circ} =\frac12\begin{pmatrix}i+1 & 1-i\\1-i & i+1\end{pmatrix}.\nn\end{eqnarray*}