9. Сахарный раствор и двойной сахарный раствор

В некоторых случаях при прохождении линейно поляризованного света через вещество плоскость поляризации света поворачивается на угол φ относительно оси, совпадающей с направлением распространения света.

Такие вещества называют оптически активными, и в частности им является раствор сахара. Угол поворота φ зависит от длины кюветы с раствором \ell и от массовой концентрации раствора C:

    \[\phi = \alpha C \, \ell,\]


где \alpha — удельная постоянная вращения оптически активного вещества в растворе.

В игре используются два подобных оптических элемента: «сахарный раствор», поворачивающий плоскость поляризации на 45°, и «двойной сахарный раствор», поворачивающий на 90°. Рассмотрим именно эти ситуации.

Пусть распространяющиеся через раствор однофотонные импульсы линейно поляризованы и, подлетая к переднему торцу кюветы, находятся либо в состоянии вертикальной |V\rangle, либо горизонтальной |H\rangle поляризации. Тогда, если вместо нотации Дирака использовать матричное представление для описания состояния импульсов

    \[|V\rangle \rightarrow \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \qquad|H\rangle \rightarrow \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},\]


то прохождение через сахарный раствор (φ = 45°) описывается следующим унитарным преобразованием

    \[R_{45^\circ} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 &\!\!\! -1\\1 &\!\!\! 1\end{pmatrix}.\]


Что дает

    \[R_{45^\circ} |V\rangle =\begin{pmatrix}1 &\!\!\! -1\\1 &\!\!\! 1\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2} \left( |H\rangle + |V\rangle \right),\]


    \[R_{45^\circ} |H\rangle =\begin{pmatrix}1 &\!\!\! -1\\1 &\!\!\! 1\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2} \left( |H\rangle - |V\rangle \right).\]


То есть данное преобразование представляет собой переход в новый базис состояний

    \[|+\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |H\rangle + |V\rangle \right), \quad |-\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left( |H\rangle - |V\rangle \right).\]

Прохождение через двойной сахарный раствор (φ = 90°) меняет состояние поляризации на ортогональное, что соответствует действию оператора Паули \hat X

    \[R_{90^\circ} |V\rangle = \hat X |V\rangle = \begin{pmatrix}0 &\!\!\! 1\\1 &\!\!\! 0\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = |H\rangle,\]


    \[R_{90^\circ} |H\rangle = \hat X |H\rangle = \begin{pmatrix}0 &\!\!\! 1\\1 &\!\!\! 0\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = |V\rangle.\]