6.1. Светоделитель с покрытием

Симметричный светоделитель с покрытием (50/50 Coated Beam Splitter) — это тонкая полупрозрачная пластинка, покрытая с одной из сторон оптически прозрачным слоем и делящая световой луч пополам: в равной мере отражая и пропуская насквозь свет как с s-поляризацией, так и с p-поляризацией.

Квантовые собенности преобразования света светоделителем наблюдаются, когда на его вход подают свет с неклассической статистикой. В частности, нас будет интересовать преобразование однофотонных импульсов.

В квантовооптических экспериментах наиболее распространенным является светоделитель, который просто называется «симметричный светоделитель» (50/50 Beam Splitter). По принципу действия он также в равной мере отражает и пропускает свет, но отвечающая ему матрица преобразования U_{BS} не учитывает набег фазы на π при отражении s-поляризованной волны, что в совокупности с отсутствием покрытия дает иное распределение фазы световых волн на выходе. Рассмотрим матрицу преобразования общего вида для симметричного светоделителя U_{BS}. Исходя из предположения о ее унитарности U^{-1}_{BS} = U^\dag_{BS}, на фазы и амплитуды естественным образом накладываются ограничивающие их условия

    \begin{equation*}U_{BS} =\begin{pmatrix}\cos\theta \ e^{i\phi_{11}} & \sin\theta \ e^{i\phi_{12}}\\\sin\theta \ e^{i\phi_{21}} & \cos\theta \ e^{i\phi_{22}}\end{pmatrix}, \quad \phi_{11} + \phi_{22} = 2 \pi n, \quad \phi_{12} + \phi_{21} = \pi (2 m+1), \quad n,m \in \mathds{Z}.\end{equation*}


Для симметричных светоделителей θ = π/4, и потому

    \begin{equation*}U_{BS} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}e^{i\phi_{11}} & e^{i\phi_{12}}\\e^{i\phi_{21}} & e^{i\phi_{22}}\end{pmatrix}.\end{equation*}

Мы вправе выбрать любые значения для φ_{11}, φ_{12}, φ_{21}, φ_{22}, удовлетворяющие наложенному условию. Полагая φ_{11} = φ_{22} = φ_{21} = π, φ_{12} = 0, то есть n = 1, m = 0, получим матрицу преобразования симметричного светоделителя

(1)   \begin{equation*}\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}-1 & \ 1\\-1 & -1\end{pmatrix}. \end{equation*}

Теперь учтем влияние покрытия. Одна из сторон пластинки покрыта оптически прозрачным слоем такой толщины, чтобы обеспечить при прохождении через него светового луча (неважно, какой поляризации) разность хода в λ/2 относительно прохождения аналогичного воздушного слоя. Это соответсвует дополнительному набегу фазы на π. С другой стороны, для светового луча, который, пройдет через этот слой, отразиться от пластинки и вновь пересечет этот слой в обратном направлении, набег фазы будет равен . Учтем влияние покрытия на фазу выходящих из светоделителя лучей, домножив (1) на матрицу преобразования P вида

(2)   \begin{equation*}P=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & \ 0\end{pmatrix}.\end{equation*}


Тогда

(3)   \begin{equation*}P \cdot\begin{pmatrix}-1 & \ 1\\-1 & -1\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}\ 1 & 1\\-1 & 1\end{pmatrix}. \end{equation*}

Как уже упоминалось, в отличии от p-поляризованной волны (в игре представленной светом в состоянии с горизонтальной поляризацией |H\rangles-поляризованная волна (в игре — вертикальная поляризация |V\rangle) при отражении приобретает набег фазы на π, поэтому для описания изменения квантовых состояний поляризованных однофотонных импульсов удобно использовать две матрицы преобразования. Для света с горизонтальной поляризацией аналогичную (3)

(4)   \begin{equation*}U_{C\!B\!S,H} = \frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}\ 1 &1\\-1 & 1\end{pmatrix}.\end{equation*}


А для света с вертикальной поляризацией учтен набег фазы при отражении, что соответствует повторному действию матрицы P

(5)   \begin{equation*}U_{C\!B\!S,V} =P \cdot\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}\ 1 &1\\-1 & 1\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 & -1 \\1 & \ 1\end{pmatrix}.\end{equation*}


Стоит отметить, что последовательное действие двух матриц P соответсвует домножению на e^{i\pi}, где I — единичная матрица.

Рассмотрим ситуацию, когда на каждый из входов светоделителя с покрытием посылается однофотонный импульс или же сигнал на входе отсутствует. Даже при отсутствии сигнала в квантово-механическом описании мы должны рассматривать эволюцию вакуумного состояния моды. Будем обозначать операторы уничтожения фотонов в состоянии с вертикальной поляризацией во входных модах 1 и 2 как \hat a_{1,V} и \hat a_{2,V}, соответсвенно (и как \hat a_{1,H} и \hat a_{2,H} для горизонтальной поляризации). Пусть однофотонные импульсы, приходящие либо на первый, либо на второй вход обладают либо вертикальной, либо горизонтальной линейной поляризацией. В дираковской нотации соответствующие квантовые состояния на первом входе светоделителя записываются через вектора состояния: |10\rangle_{a1} и |01\rangle_{a1}, где первое число заполнения обозначает вертикальную поляризацию, а второе — горизонтальную. Для импульса на втором входе используются аналогичные обозначения, но с индексом a2.

Покажем, как с помощью унитарной матрицы для вертикальной поляризации U_{C\!B\!S,V} преобразуются квантованные амплитуды \hat a_{1,V} и \hat a_{2,V} при прохождении импульсов
через симметричный светоделитель с покрытием. Составим из данных амплитуд вектор-столбец и подействуем на него матрицей (5):

(6)   \begin{equation*}\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 & -1\\1 &\ 1\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix}\a_{1,V}\\\a_{2,V}\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt 2}\begin{pmatrix}\a_{1,V} - \a_{2,V}\\\a_{1,V} + \a_{2,V}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\b_{1,V}\\\b_{2,V}\end{pmatrix}.\end{equation*}


Результатом такого преобразования станет вектор-столбец с амплитудами полей на выходе \hat b_{1,V} и \hat b_{2,V}. В последнем равенстве каждой строчке левого вектора-столбца однозначно соответсвует такая же строчка правого вектора-столбца. Таким образом, из полученной системы уравнений не сложно выразить квантованные амплитуды на входе \hat a_{1,V} и \hat a_{2,V} через квантованные амплитуды на выходе \hat b_{1,V} и \hat b_{2,V} (соотношения «входа-выхода»):

(7)   \begin{equation*}\hat a_{1,V} = \frac1{\sqrt 2} \( \hat b_{2,V} + \hat b_{1,V} \), \qquad \hat a_{2,V} = \frac1{\sqrt 2} \( \hat b_{2,V} - \hat b_{1,V} \).\end{equation*}


Аналогичные рассуждения и использование унитарной матрицы преобразования для горизонтальной поляризации (4) позволяют получить соотношения входа-выхода для амплитуд \hat a_{1,H} и \hat a_{2,H}

(8)   \begin{equation*}\hat a_{1,H} = \frac1{\sqrt 2} \( \hat b_{1,H} - \hat b_{2,H} \), \qquad \hat a_{2,H} = \frac1{\sqrt 2} \( \hat b_{1,H} + \hat b_{2,H} \).\end{equation*}


Теперь, используя выражения (7) и (8), можно записать состояние поля на выходе светоделителя.
Рассмотрим два примера.

  1. Пусть состояние поля на входе имеет вид |10\rangle_{a1}|00\rangle_{a2}, то есть в первый канал приходит однофотонный импульс в состоянии c вертикальной поляризацией, а в второй канал остается в вакуумном состоянии. Данное начальное состояние может быть переписано как

    (9)   \begin{equation*}|10\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,V} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,V} |0\rangle,\end{equation*}


    где \hat a^\dag_{1,V} — оператор рождения поля с вертикальной поляризацией в канале 1. Тогда, подставляя (7) в (9), получим состояние поля на выходе:

    (10)   \begin{equation*}|out\rangle = \frac1{\sqrt 2} \(\hat b^\dag_{1,V} + \hat b^\dag_{2,V}\)|0\rangle = \frac1{\sqrt 2} \( |10\rangle_{b1} |00\rangle_{b2} + |00\rangle_{b1} |10\rangle_{b2} \),\end{equation*}


    то есть на выходе поле будет находится в суперпозиционном состоянии. Уточним, что здесь мода с горизонтальной поляризацией возникнуть не может. Это предполагало бы поворот плоскости поляризации входящего света на π/2, а такое преобразование светоделитель не осуществляет.
  2. Пусть состояние поля на входе имеет вид |10\rangle_{a1}|01\rangle_{a2}, то есть в первый канал приходит однофотонный импульс в состоянии с вертикальной поляризацией, а во второй — с горизонтальной:

(11)   \begin{equation*}|10\rangle_{a1}|01\rangle_{a2} = \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,H} |00\rangle_{a1}|00\rangle_{a2} \equiv \hat a^\dag_{1,V} \hat a^\dag_{2,H} |0\rangle.\end{equation*}


Тогда, подставляя (7) и (8) в (11), получим

(12)   \begin{eqnarray*}|out\rangle = \frac1{\sqrt 2} \left(\hat b^\dag_{1,V} + \hat b^\dag_{2,V}\right) \frac1{\sqrt 2} \left(\hat b^\dag_{1,H} + \hat b^\dag_{2,H}\right) |00\>_{b1}|00\rangle_{b2} =\\\frac12 \left( \hat b^\dag_{1,V} \hat b^\dag_{1,H} + \hat b^\dag_{1,V} \hat b^\dag_{2,H} + \hat b^\dag_{2,V} \hat b^\dag_{1,H} + \hat b^\dag_{2,V} \hat b^\dag_{2,H} \right) |00\rangle_{b1}|00\rangle_{b2} =\\\frac12 \left( |11\rangle_{b1} |00\rangle_{b2} + |10\rangle_{b1} |01\rangle_{b2} + |01\rangle_{b1} |10\rangle_{b2} + |00\rangle_{b1} |11\rangle_{b2} \right).\end{eqnarray*}


То есть два фотона могут оказаться в одном из каналов, или же могут разделиться и пройти в два разных канала.

Отметим, что наиболее интересное преобразование однофотонных квантовых состояний на светоделителях (исключая поляризационный светоделитель) наблюдается, когда входные фотоны оказываются неразличимы по своим характеристикам. В этом случае на выходе светоделителя фотоны не могут разделиться и попасть в разные каналы, наблюдается эффект группировки фотонов, называемый эффектом Хонга-У-Манделя.

В игре на каждый из входов светоделителя может приходить не только свет со строго вертикальной или горизонтальной поляризацией, но и суперпозиционное состояние данных поляризаций. В этом случае вычисление состояния поля на выходе проводится аналогичным образом.